Античные учёные сделали очень много для развития математической науки. Из школьного курса мы помним теоремы Фалеса, Пифагора, Евклида. В каких же книгах были заложены основы современной алгебры и геометрии?
«Начала» Евклида
Одной из фундаментальных книг по математике до сих пор остаются «Начала» Евклида (III век до н.э.), поскольку описанная в них геометрия изучается во всех без исключения общеобразовательных заведениях и лежит в основе большинства практических задач человеческой деятельности. Также на евклидовой геометрии базируется классическая механика – один из обширнейших разделов физики, имеющий большое прикладное значение. Элементарная геометрия далеко не единственный предмет, который рассматривается в этой книге. Теория чисел, решение квадратных уравнений, учение об отношениях чисел и величин, квадратичные иррациональности составляют только часть вопросов, которым посвящены различные главы «Начал».
«Начала» разделены на 13 книг, каждая из которых начинается с определений. В первой книге также присутствуют 5 постулатов и 9 аксиом. Сначала рассказывается о планиметрии: представляются такие фигуры, как треугольники, прямоугольники и трапеции, перечисляются основные их свойства с доказательствами. В конце 1-й книги приводится и знаменитая теорема Пифагора: сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. Отдельные книги посвящены кругам, хордам и касательным, а также правильным многоугольникам. Книги 7-9 посвящены арифметике и теории чисел. Именно в 7 книге приводится знаменитый алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Заключают труд вопросы стереометрии и способы построения правильных многогранников. Более двух тысяч лет геометрию изучали по «Началам» Евклида. Настолько высок был авторитет этой книги, что появление в 19 веке геометрий, отличных от геометрий Евклида, вызывало огромное сопротивление и неприятие.
Влияние «Начал» на развитие математической науки было колоссальным: античные и средневековые учёные всегда опирались на них, проводя собственные исследования. Аксиоматический метод построения геометрии Евклидом более двух тысяч лет остаётся эталонным. При этом о самом Евклиде почти ничего неизвестно.
«Конические сечения» Аполлония
Наиболее известным сочинением о стереометрии, относящимся к тому времени, являются «Конические сечения» Аполлония Пергского (262 до н. э. – 190 до н. э.). В своём составе они имеют 8 книг, последняя из которых утеряна. В первой книге Аполлоний доказывает, что уравнения эллипса, гиперболы и параболы инвариативны относительно преобразований системы координат. Далее приводятся свойства асимптот и сопряжённых диаметров, уравнение гиперболы относительно асимптот и основные свойства эллипса и гиперболы. Последние имеют применение в теории фокусов. Также рассматриваются системы координат, зависящие уже от двух параметров. Пятая книга посвящена нормалям, проведённой из заданной точки, их количеству и свойствам. В седьмой книге приводятся знаменитые теоремы о сопряжённых диаметрах. Такие диаметры обладают следующим свойством – середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре, и наоборот. Самым наглядным примером таких диаметров служат 2 перпендикулярных диаметра эллипса.
Аполлонию принадлежит множество новых и смелых идей. Так, например, он предложил ввести эпициклы и эксцентрические окружности для описания видимого движения Солнца и планет.
«Арифметика» Диофанта
После Аполлония античная наука приходит в упадок, новых идей и исследований практически не появляется. На этом фоне резко выделяется Диофант Александрийский (III век н. э.) – последний великий математик древности, заложивший в своём сочинении «Арифметика» основы алгебраической науки. Изначально «Арифметика» состояла из 13 книг, из них до нашего времени сохранилось только 6, содержащих 189 задач с решениями. Именно в «Арифметике» впервые используется ставший традиционным для алгебры язык буквенных обозначений. Также Диофант вводит знак равенства, подробно описывает правила алгебраических операций, например, таких как умножение и деление степеней неизвестного.
В «Арифметике» описаны неопределённые уравнения, имеющие бесконечно много решений, которые впоследствии были названы по имени учёного диофантовыми. Однако сам Диофант ищет не все решения, а удовлетворяется каким-либо одним положительным рациональным значением, неважно, целым или дробным. В современной науке способы решения произвольных диофантовых уравнений являются популярным объектом для исследований, однако, несмотря на то, что этой проблемой занимались многие выдающиеся математики, в том числе П. Ферма, Л. Эйлер, А. Пуанкаре и Д. Гильберт, результатов получено немного. Методом спуска можно найти общее решение линейного диофантова уравнения вида ax + by = c. Решения квадратного уравнения x² + y² = c² называются пифагоровыми тройками. Именно на полях этой книги в 1637 году выдающийся французский математик Пьер Ферма оставил комментарий, который впоследствии получил название Великой или Последней теоремы Ферма:
Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
В 1995 году Великая теорема Ферма была доказана Эндрю Уайлсом, но до сих пор продолжаются споры о том, мог ли Ферма доказать свою теорему.
Современная математика многое взяла из исследований, проведённых в Древней Греции. Теория делимости чисел, неопределённые уравнения, теория конических сечений и многие другие достижения древнегреческий науки определили вектор дальнейшего развития математики на следующие несколько веков.
А для интересного изучения математики мы создали проект «Математический Эверест». Там собраны уроки, тренажеры, конкурсы и олимпиады по математике. Приглашаем покорить математические вершины!
